數(shù)學作為基礎學科，是每一個受教育者必須接受的文化教育。數(shù)學對諸多其它學科如物理學、生物學、化學、經(jīng)濟學、地理起到直接利用的工具作用，對所有學科起到間接使用的啟迪作用，還是對人的智慧發(fā)展、品質(zhì)培養(yǎng)以及情感、世界觀的形成起到導引作用。這是由于數(shù)學是從量的側(cè)面認知事物，而量又是具有普遍存在性的，所以數(shù)學是貫穿于人類知識體系與人類社會發(fā)展的歷史地、辯證的、廣泛的、與時俱進的學科。它的教學價值與教育的重要性不言而喻?！ ?/FONT>
學前教育中的數(shù)學，是對量的感知。學習阿拉伯數(shù)字，對0、1、2、……8、9的個體認識記憶，就像記住歐氏幾何二十三個定義、五大公設與五大公理一樣，是基礎之基礎。生活中物體個數(shù)的數(shù)字認知就是從量（即個數(shù)）的側(cè)面認知事物。而數(shù)數(shù)，則或多或少地是發(fā)現(xiàn)規(guī)律及依次增大，例如數(shù)蘋果，一個、兩個、三個……從表示蘋果多少的量，抽象出數(shù)的增大這一數(shù)列（或函數(shù)）單調(diào)增加，便是數(shù)學學習的一大進步。運算，則是更高能力層次的要求。當然了，對球、三角形、四邊形及組合圖形等的認知，如玩積木，又是幾何圖形的認知。
小學數(shù)學在學前數(shù)學教學基礎上，擴充了自然數(shù)的掌握個數(shù)，由帶余除法到小數(shù)則更是數(shù)系的擴張。小學生對時間、長度、面積、體積、質(zhì)量、貨幣等也更為量化。而對三角形、平行四邊形、圓形以及圓柱、圓錐的認識，基本性質(zhì)、面積、體積公式的學習和對這些公式的驗證或證明，是幾何上的突破。再像找規(guī)律，無疑是數(shù)列、函數(shù)問題的雛形（小學對正比、反比教學也滲透了函數(shù)，甚至還出現(xiàn)了圖象）。而小學數(shù)學尤其是奧數(shù)中，數(shù)論、概率論與數(shù)理統(tǒng)計的初步研究也對學生數(shù)學全面發(fā)展、啟迪智慧益處很多?！ ?/FONT>
初中數(shù)學，在深度、廣度、難度和嚴謹度上要求更高。同樣，從有理數(shù)到實數(shù)，數(shù)系再度擴張。對于百萬、千萬、億及千分之一、萬分之一的認識，又是一個提高。運算方面，乘方、開方、三角式也已引入。代數(shù)的教授也使數(shù)學抽象色彩更為濃厚、普適特點和嚴密性更為突出。至于幾何，我認為它在初中數(shù)學中比代數(shù)等更為深入，難度更大，因其要求更高，發(fā)揮的余地很大。初中幾何之中心，是歐幾里得幾何。例如相似與全等的對立統(tǒng)一，三角形內(nèi)角和為180度等，都是依賴于以歐幾里得幾何為出發(fā)點。在圖形物理量的計算上，幾乎沒有上升到新的層次。在概率、統(tǒng)計上，學生的理論與實踐能力得到可觀的進展。其中，加權平均數(shù)就是數(shù)學期望的簡體，方差又與最小二乘法密切關聯(lián)。要說初中數(shù)學最大的提升點，非函數(shù)莫屬。一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)、應用的學習，從中學教學結(jié)構(gòu)講，對高中更復雜的函數(shù)與更多問題起鋪墊作用。而更客觀的說，這是對“從量的側(cè)面認知事物”更好的詮釋。聯(lián)系、變化、發(fā)展、預測的思想內(nèi)涵以此傳授給學生。但三角函數(shù)，在初中范圍只能用于數(shù)形結(jié)合解（直角）三角形。而近年來，函數(shù)教學越來越重視函數(shù)思想的培養(yǎng)。初、高中都有函數(shù)新定義或新函數(shù)的探究式考查?！ ?/FONT>
從初中到高中，數(shù)學的梯度大幅提升。學生不難發(fā)現(xiàn)，所謂一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)都是冪函數(shù)或幾個冪函數(shù)與常值函數(shù)的復合。甚至只是限于負一次、一次、二次這一最簡范圍，尤其是從微積分角度講，更是簡單。而對數(shù)運算與對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、常值函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)（可能還會有雙曲函數(shù)）蜂擁而至，尤其是三角函數(shù)的大容量講學，使學生在存在困難的接受的同時，也深切感受到數(shù)學尤其是函數(shù)的豐富性、多樣性與普適、實用性。而幾何方面從平面幾何拓展定理，并發(fā)展成為平面解析幾何、立體幾何。數(shù)形結(jié)合思想大有用武之地。代數(shù)方面，復雜運算與公式迭增，如牛頓二項式定理。數(shù)列知識也有較高的要求，與級數(shù)可以銜接。概率統(tǒng)計上，排列組合、幾種概型、數(shù)據(jù)分析知識點也非常多。在高中數(shù)學的一些課本中，矩陣、算法、復數(shù)和微積分也有所講解。但從課改前的要求來看，基本不考查矩陣、算法及微積分中除導數(shù)以外的部分等。
到了大學，高等數(shù)學（通?？梢元M義地理解為積分）、概率論、數(shù)理統(tǒng)計學、數(shù)學邏輯、分析數(shù)學、微分方程、計算數(shù)學、線性代數(shù)、運籌學、控制論、信息論等諸多數(shù)學學科與數(shù)理經(jīng)濟學、生物數(shù)學、數(shù)學物理等復合學科，以及更加細微分化的數(shù)學應用學科，如非線性光學，分析力學，計算機科學等等，都與數(shù)學不可分割。對于大多數(shù)學生講，高數(shù)是最基礎的公共課程。從函數(shù)、極限、導數(shù)、微分、定積分、不定積分、微分方程到多元函數(shù)的導數(shù)、全微分、偏導數(shù)、多重積分，還有矩陣、立體解析幾何、概率論、數(shù)理統(tǒng)計學，都是必備的數(shù)學知識。數(shù)學建模思想凸顯?！ ?/FONT>
審視數(shù)學教學歷程，與人類的數(shù)學史大致吻合（當然也有一定的區(qū)別，如歷史上先有對數(shù)后又乘方，而且是以1/e為底的對數(shù)）。因而數(shù)學教育者，應當秉承發(fā)展的觀念，以歷史觀為基礎，注重學用結(jié)合，融會貫通，用辯證法教導學生。知識不是獨立的點，而是連成一片的網(wǎng)，是推理演繹著的流水，流向更深邃的遠方?！ ?/FONT>
但是，當今教學者雖大都可以完整、嚴謹、關聯(lián)地傳授數(shù)學，但數(shù)學式的滲透并不容樂觀。而數(shù)學文化品格的教育更是匱乏。曾在教學研討文章上看到，一位高三教師對于一道解三角形的題目，縝密地運用多種方法解題，快速而不慌亂，接著便將下一道題。這種場景在高三很常見，因為要趕時間復習。問他數(shù)學的文化價值是什么，他說，是學生的思維能力，應用價值也是一個方面；高三復習只要會做題就行，不要搞花架子?！ ?/FONT>
另一位教師，講“二項式系數(shù)的性質(zhì)及應用”時，將楊輝三角形寫在黑板上后，說：“這就是著名的楊輝三角形，它比西方的帕斯卡三角形早了300多年?！苯又阕寣W生探究其規(guī)律。同樣問他怎樣在數(shù)學課堂中滲透數(shù)學的文化價值，他說他就是在滲透數(shù)學的文化價值?！ ?/FONT>
數(shù)學有兩種品格，一個是工具品格，另一個是文化品格。當今數(shù)學教育，多能體現(xiàn)出工具品格，學生也總愛問，學數(shù)學有什么用。但這正是急功近利與物質(zhì)化的弊病。孰不知數(shù)學史上有作為的數(shù)學家，是用靈魂去發(fā)現(xiàn)真理。數(shù)學是用以陶冶情操、鍛煉思維、提升一個人的綜合素質(zhì)。數(shù)學更是精神層次的學問。這也正是為什么西點軍校的學員除了學習運籌學、優(yōu)化技術、可靠性方法等數(shù)學學科，還要學習高深的數(shù)學課。而英國律師在大學里也要學習多門高等數(shù)學。嚴謹、求真的態(tài)度，敏捷的思維，良好積極的心態(tài)，穩(wěn)重的做事風格，和隨機應變的能力，持之以恒與不懈奮斗的精神品質(zhì)，都是可以由數(shù)學提供的。而當今數(shù)學教育者，或是根本沒有了解數(shù)學文化價值的深層含義，或是迫于緊張的教學時間的壓力與外界的限制，大部分都無法真正的傳承數(shù)學在歷史長河中的精神積淀。像上文所舉二例，用簡單的一兩句話介紹某個數(shù)學發(fā)展階段，或者干脆不講數(shù)學發(fā)展，不把數(shù)學史與教材結(jié)合，不挖掘各時期間數(shù)學形態(tài)的內(nèi)部聯(lián)系，只會讓學生感到形式單一、枯燥無味，而且缺乏系統(tǒng)性、實踐性?！ ?/FONT>
文化滲透除了本身就是數(shù)學的靈魂、精髓以外，對數(shù)學學習者的數(shù)學學習興趣起到重要培育作用，對其學習熱情、主動性起到鼓舞作用。在實例與數(shù)學故事的基礎上，通過對數(shù)學史、數(shù)學方法論、數(shù)學思想的學習，可以使學生的數(shù)學功底更為深厚，樹立起學數(shù)學的自信心。尤其是從淺顯易懂中發(fā)現(xiàn)深刻道理的教學過程，完全比做偏、難、怪的題目效能大、效果好、效率高。數(shù)學的魅力，不是靠難倒人、應用性強來體現(xiàn)的。除非非要強調(diào)其工具品格，非要去用它的肉體解決問題，甚至用它的肉體去謀求物質(zhì)利益，我們可以適當降低數(shù)學題目的難度（并不是降低知識深度），提高其數(shù)學內(nèi)涵。當然，還有許多數(shù)學題目具有很高的價值，但難度很大。這便是過少的教學時間與高難度高價值題目的沖突。雖然一般難度的數(shù)學題更適合大多數(shù)人，且完全能起到很大的數(shù)學培養(yǎng)作用，可是高難度高價值題目不少也是數(shù)學精神的載體。這便要求客觀上增加教學時間，減少那些如中、高考前的重復復習，這種減少不僅可以使教師有更多時間仔細講解難題，還提高學習知識的牢固性，在學習中醫(yī)代替原先復習的作用。知識都是相連的，任何人都可以、更是有權利學會有價值的、真正的難題，由淺入深是學習的本真過程。實際上，為學習數(shù)學、研究數(shù)學奮斗的人，都是數(shù)學的強者。他們以具有高超的數(shù)學技藝與美好的品德。其實任何事都是這樣，做事時，失敗的積分遠大于成功與輝煌！
說到難題，我們又來到下一話題——補充講學。曾經(jīng)在學概率時，講到“投針試驗”。教科書上只是強調(diào)概率操作時的試驗方法，將統(tǒng)計與概率相關聯(lián)。而老師在給我們講課時，還給我們講到了這一概率公式的證明。老師確實抽出一整節(jié)課，對該公式進行論證，并且不厭其煩地多次換角度講解，給出了足夠的學生消化時間，盡可能地讓同學明白。對于其中的一個定理，由于其深度，直接引用，使學生不被困難嚇倒，很是恰到好處。但是講課時我們已是初三，但老師依然保證補充講學這一重要的聯(lián)系拓廣方式的進行。此外，該節(jié)內(nèi)容中，課后題講到“隨便說出三個正數(shù)，試驗估計以之圍成鈍角三角形的概率。”老師又是從嚴謹求解的角度教學，先對其給予知識補充上的啟示，再將這一問題的求解留成思考作業(yè)，并且適當減少其它數(shù)學作業(yè)，給學生以足夠時間和空間思考。另外，老師將期末平時成績的滿分賦予此題，這又是一種獎勵機制。幾天后上課，又是細致地、深入地講解，并貫穿著學生的發(fā)言，使圓的方程、幾何概率甚至解斜三角形的相關知識有選擇的全面融于此題中，江浙到很有難度的題分塊被攻克。對此題有深入研究的同學，也獲得了滿分?！ ?/FONT>
同樣是由法國數(shù)學家Buffon最早設計的“投針試驗”，在某校高三一節(jié)數(shù)學課的“課前3分鐘數(shù)學史話”上，一位學生與老師、同學分享了此故事。老師見大家對此興趣盎然，便放下原先準備的復習內(nèi)容，探討此問題。在師生共同的討論中，又有同學提出相關的問題、猜想。“投針試驗”是一種試驗估計圓周率的方法，同學們有人提出他們測圓周率的預計方法。老師從共同探究與引導的角度對同學的方案進行分析，最終在大家循序漸進的研討中，一個同學提出了正確的方法，老師予以鼓勵，還以該同學的名字命名這一方法和所測圓周率。這位教師引導、啟迪、教學相長的授課方式，和善于發(fā)現(xiàn)學生長處并及時鼓勵、抓住學生學習興趣與靈感的教學能力，對于日常課本講學，也是難能可貴的品質(zhì)?！ ?/FONT>
其實，補充講學知識相對于該學習階段課程要求、標準和教學大綱而言。補充內(nèi)容對學生能力提高層次檔次超過課標，但實際上對學生解決該階段問題益處非常大。人站得更高，看得更廣遠，看到的困難也更小，更有實力、有信心解決現(xiàn)階段問題。另一方面，對于同日后數(shù)學學習的鋪墊、銜接，也是不可或缺的一項，甚至對日后數(shù)學的學習降低難度。例如有些高中再將微積分時，對課標以外的微分、定積分、不定積分講解以達到高等數(shù)學的水平。像Lagrange中值定理、Cauchy中值定理也講解很多、很細。當這些學校的學生在大學學習非專業(yè)高等數(shù)學時，會覺得十分輕松，甚至上課時自己把講的內(nèi)容快速瀏覽一遍，做幾道題，就睡覺，都可以取得不錯的成績。
在補充講學方面與數(shù)學價值方面，奧數(shù)與數(shù)學競賽也應一提。值得肯定，小學奧數(shù)和中學數(shù)學競賽，對數(shù)學知識的擴充、思維的開發(fā)益處不小。但是，小學奧數(shù)中不乏呆板、生搬硬套的成份。如該用方程的非用處罰逆推，雖然這里有逆向思維的特點，但教師并沒有講解逆向思維原理、方法。而小學奧數(shù)更是小升初時“升學中介單位”——奧數(shù)班的暴利融資方式，單憑小學奧數(shù)書的種類多、銷量大就可以說明。而中學數(shù)學競賽及其他各類學科的競賽，與小學奧數(shù)類似，都是為了上重點學校而孕育的人為工具?！吧现攸c”“熱潮”使“奧數(shù)”、“特長生”、“走后門”、“高額借讀費”、“擇校費”等等已經(jīng)耳熟能詳。在成年人錢權利益之下的“數(shù)學”，本來起促進作用和發(fā)掘數(shù)學潛能的數(shù)學競賽，好比被蹂躪的烏鴉，可憐而惡心。數(shù)學的高尚已被人為地、粗魯?shù)卣_蔑、踐踏；其對智慧、思維的啟迪作用被誤認為成劃分人智商高低、決定學生數(shù)學好壞的標準。這對未成年人數(shù)學興趣培養(yǎng)、價值觀、世界觀尤其是對數(shù)學的認識的建立，對學習、成長的信心，不僅誤導，更是迫害。就算是高中數(shù)學競賽的全國一等獎獲得者，也不得不承認數(shù)學競賽是用于被北大、清華自主招生錄取，他們到了大學幾乎沒有人學與數(shù)學有關的專業(yè)。奧數(shù)是一個與股票類似的東西。在高額投資下，可能會猛賺一把，但更有不少人甚至血本無歸。尤其是在“奧數(shù)危機”的今天。
總的來說，數(shù)學的學習極其需要教育者重視其文化品格，了解數(shù)學的真諦，適當有效地補充講學，更重要的是鼓舞受教育者的自信心。也需要教育機構(gòu)、單位從更深遠的角度看問題，為國家和它的未來著想。我并不指望他們能用心感知數(shù)學，哪怕他們能為更大的利益耐住物欲就很好。數(shù)學的文化及數(shù)學教學，太值得浮躁的當代人思考，從教育者，政府，到每一個愿意認識世界，把握未來的人。
