加法原理（一）

例1從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船。一天中火車有4班，汽車有3班，輪船有2班。問(wèn)：一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地，共有多少種不同走法？

分析與解：一天中乘坐火車有4種走法，乘坐汽車有3種走法，乘坐輪船有2種走法，所以一天中從甲地到乙地共有：4＋3＋2=9（種）不同走法。

例2旗桿上最多可以掛兩面信號(hào)旗，現(xiàn)有紅色、藍(lán)色和黃色的信號(hào)旗各一面，如果用掛信號(hào)旗表示信號(hào)，最多能表示出多少種不同的信號(hào)？

分析與解：根據(jù)掛信號(hào)旗的面數(shù)可以將信號(hào)分為兩類。第一類是只掛一面信號(hào)旗，有紅、黃、藍(lán)3種；第二類是掛兩面信號(hào)旗，有紅黃、紅藍(lán)、黃藍(lán)、黃紅、藍(lán)紅、藍(lán)黃6種。所以一共可以表示出不同的信號(hào)

　　3＋6=9（種）。

　　以上兩例利用的數(shù)學(xué)思想就是加法原理。

加法原理：如果完成一件任務(wù)有n類方法，在第一類方法中有m1種不同方法，在第二類方法中有m2種不同方法 ……在第n類方法中有mn種不同方法，那么完成這件任務(wù)共有

N=m1+m2+…+mn

種不同的方法。

　　乘法原理和加法原理是兩個(gè)重要而常用的計(jì)數(shù)法則，在應(yīng)用時(shí)一定要注意它們的區(qū)別。乘法原理是把一件事分幾步完成，這幾步缺一不可，所以完成任務(wù)的不同方法數(shù)等于各步方法數(shù)的乘積；加法原理是把完成一件事的方法分成幾類，每一類中的任何一種方法都能完成任務(wù)，所以完成任務(wù)的不同方法數(shù)等于各類方法數(shù)之和。

例3兩次擲一枚骰子，兩次出現(xiàn)的數(shù)字之和為偶數(shù)的情況有多少種？

分析與解：兩次的數(shù)字之和是偶數(shù)可以分為兩類，即兩數(shù)都是奇數(shù)，或者兩數(shù)都是偶數(shù)。

　　因?yàn)轺蛔由嫌腥齻€(gè)奇數(shù)，所以兩數(shù)都是奇數(shù)的有3×3=9（種）情況；同理，兩數(shù)都是偶數(shù)的也有9種情況。根據(jù)加法原理，兩次出現(xiàn)的數(shù)字之和為偶數(shù)的情況有9＋9＝18（種）。

例4用五種顏色給右圖的五個(gè)區(qū)域染色，每個(gè)區(qū)域染一種顏色，相鄰的區(qū)域染不同的顏色。問(wèn)：共有多少種不同的染色方法？

分析與解：本題與上一講的例4表面上十分相似，但解法上卻不相同。因?yàn)樯弦恢v例4中，區(qū)域A與其它區(qū)域都相鄰，所以區(qū)域A與其它區(qū)域的顏色都不相同。本例中沒(méi)有一個(gè)區(qū)域與其它所有區(qū)域都相鄰，如果從區(qū)域A開(kāi)始討論，那么就要分區(qū)域A與區(qū)域E的顏色相同與不同兩種情況。

　　當(dāng)區(qū)域A與區(qū)域E顏色相同時(shí)，A有5種顏色可選；B有4種顏色可選；C有3種顏色可選；D也有3種顏色可選。根據(jù)乘法原理，此時(shí)不同的染色方法有

　　5×4×3×3＝180（種）。

　　當(dāng)區(qū)域A與區(qū)域E顏色不同時(shí)，A有5種顏色可選；E有4種顏色可選；B有3種顏色可選；C有2種顏色可選；D有2種顏色可選。根據(jù)乘法原理，此時(shí)不同的染色方法有

　　5×4×3×2×2＝240（種）。

　　再根據(jù)加法原理，不同的染色方法共有

　　180＋240=420（種）。

例5用1，2，3，4這四種數(shù)碼組成五位數(shù)，數(shù)字可以重復(fù)，至少有連續(xù)三位是1的五位數(shù)有多少個(gè)？

分析與解：將至少有連續(xù)三位數(shù)是1的五位數(shù)分成三類：連續(xù)五位是1、恰有連續(xù)四位是1、恰有連續(xù)三位是1。

　　連續(xù)五位是1，只有11111一種；

中任一個(gè)，所以有3＋3＝6（種）；

　　3×4＋4×3＋3×3＝33（種）。

　　由加法原理，這樣的五位數(shù)共有

　　1＋6＋33＝40（種）。

　　在例5中，我們先將這種五位數(shù)分為三類，以后在某些類中又分了若干種情況，其中使用的都是加法原理。

例6右圖中每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)都是1。一只小蟲從直線AB上的O點(diǎn)出發(fā)，沿著橫線與豎線爬行，可上可下，可左可右，但最后仍要回到AB上（不一定回到O點(diǎn)）。如果小蟲爬行的總長(zhǎng)是3，那么小蟲有多少條不同的爬行路線？

分析與解：如果小蟲爬行的總長(zhǎng)是2，那么小蟲從AB上出發(fā)，回到AB上，其不同路線有6條（見(jiàn)左下圖）；小蟲從與AB相鄰的直線上出發(fā)，回到AB上，其不同路線有4條（見(jiàn)右下圖）。

　　實(shí)際上，小蟲爬行的總長(zhǎng)是3。小蟲爬行的第一步有四種情況：

　　向左，此時(shí)小蟲還在AB上，由上面的分析，后兩步有6條路線；

　　同理，向右也有6條路線；

　　向上，此時(shí)小蟲在與AB相鄰的直線上，由上面的分析，后兩步有4條路線；

　　同理，向下也有4條路線。

　　根據(jù)加法原理，共有不同的爬行路線

　　6＋6＋4＋4＝20（條）