游戲?qū)W數(shù)學之火柴游戲

一個最普通的火柴游戲就是兩人一起玩，先置若干支火柴於桌上，兩人輪流取，每次所取的數(shù)目可先作一些限制，規(guī)定取走最後一根火柴者獲勝。

規(guī)則一：若限制每次所取的火柴數(shù)目最少一根，最多三根，則如何玩才可致勝？

例如：桌面上有n=15根火柴，甲﹑乙兩人輪流取，甲先取，則甲應如何取才能致勝？

為了要取得最後一根，甲必須最後留下零根火柴給乙，故在最後一步之前的輪取中，甲不能留下1根或2根或3根，否則乙就可以全部取走而獲勝。如果留下4根，則乙不能全取，則不管乙取幾根（1或2或3），甲必能取得所有剩下的火柴而贏了游戲。同理，若桌上留有8根火柴讓乙去取，則無論乙如何取，甲都可使這一次輪取後留下4根火柴，最後也一定是甲獲勝。由上之分析可知，甲只要使得桌面上的火柴數(shù)為4﹑8﹑12﹑16...等讓乙去取，則甲必穩(wěn)操勝券。因此若原先桌面上的火柴數(shù)為15，則甲應取3根。（∵15-3=12）若原先桌面上的火柴數(shù)為18呢？則甲應先取2根（∵18-2=16）。

規(guī)則二：限制每次所取的火柴數(shù)目為1至4根，則又如何致勝？

原則：若甲先取，則甲每次取時，須留5的倍數(shù)的火柴給乙去取。

通則：有n支火柴，每次可取1至k支，則甲每次取後所留的火柴數(shù)目必須為k 1之倍數(shù)。

規(guī)則三：限制每次所取的火柴數(shù)目不是連續(xù)的數(shù)，而是一些不連續(xù)的數(shù)，如1﹑3﹑7，則又該如何玩法？

分析：1﹑3﹑7均為奇數(shù)，由於目標為0，而0為偶數(shù)，所以先取者甲，須使桌上的火柴數(shù)為偶數(shù)，因為乙在偶數(shù)的火柴數(shù)中，不可能再取去1﹑3﹑7根火柴後獲得0，但假使如此也不能保證甲必贏，因為甲對於火柴數(shù)的奇或偶，也是無法依照己意來控制的。因為〔偶-奇=奇，奇-奇=偶〕，所以每次取後，桌上的火柴數(shù)奇偶相反。若開始時是奇數(shù)，如17，甲先取，則不論甲取多少（1或3或7），剩下的便是偶數(shù)，乙隨後又把偶數(shù)變成奇數(shù)，甲又把奇數(shù)回覆到偶數(shù)，最後甲是注定為贏家；反之，若開始時為偶數(shù)，則甲注定會輸。

通則：開局是奇數(shù)，先取者必勝；反之，若開局為偶數(shù)，則先取者會輸。

規(guī)則四：限制每次所取的火柴數(shù)是1或4（一個奇數(shù)，一個偶數(shù)）。

分析：如前規(guī)則二，若甲先取，則甲每次取時留5的倍數(shù)的火柴給乙去取，則甲必勝。此外，若甲留給乙取的火柴數(shù)為5之倍數(shù)加2時，甲也可贏得游戲，因為玩的時候可以控制每輪所取的火柴數(shù)為5（若乙取1，甲則取4；若乙取4，則甲取1），最後剩下2根，那時乙只能取1，甲便可取得最後一根而獲勝。

通則：若甲先取，則甲每次取時所留火柴數(shù)為5之倍數(shù)或5的倍數(shù)加2。