國際象棋中的數(shù)學(xué)問題

一個(gè)國際象棋盤，是一個(gè)8×8的64方格，歐拉曾研究過棋盤上馬的跳躍問題，他證明了，存在一個(gè)馬的跳躍路線，從一點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過每一格一次且僅一次。最后又跳回到初始點(diǎn)。

上述的這樣一個(gè)馬步跳躍路線，稱為棋盤上的馬步哈密頓回路；如果不限制最后一步還要能跳回到始點(diǎn)，則稱為馬步哈密頓路。定義m，n是正整數(shù)，一個(gè)（m，n）馬，是指在一個(gè)充分大的棋盤上一步可縱橫跳m，n個(gè)格或n，m個(gè)格。于是，國際象棋的馬是（1，2）馬。下面給出一個(gè)定理，它刻畫了（2，3）馬和（1，2）馬的本質(zhì)區(qū)別。定理從8×8棋盤上任一點(diǎn)出發(fā)，均不存在（2，3）馬的馬步哈密頓路。證把8×8棋盤分成A，B兩個(gè)區(qū)，分兩種情形證明：

（1）若起始點(diǎn)在A區(qū)，存在（2，3）馬的馬步哈密頓路，由于從A區(qū)的任一方格經(jīng)一步（2，3）馬，它可以到A區(qū)的一格或B區(qū)的一格；而由B區(qū)的一格經(jīng)一步（2，3）馬只能跳到A區(qū)的一格，注意到A區(qū)的方格數(shù)和B區(qū)的方格數(shù)是同樣多的，所以必須從A區(qū)到B區(qū)，再由B區(qū)至A區(qū)的交替跳躍，才可能不重復(fù)地跳遍A，B兩區(qū)。另一方面，我們把棋盤依黑白兩色染色，這樣，從A區(qū)的白（黑）格，經(jīng)一步（2，3）馬，必到B區(qū)的黑（白）格，再從B區(qū)的黑（白）格經(jīng)一步又回到A區(qū)的白（黑）格，如此下去，則只能跳過A區(qū)的白（黑）格和B區(qū)的黑（白）格，這和其存在（2，3）馬的馬步哈密頓路相矛盾。

（2）若起始點(diǎn)在B區(qū)，若存在著馬步哈密頓回路，則（2，3）馬不能交替地在B區(qū)與A去之間跳躍，否則歸約到情形（1）的類似證明。于是，存在一步且僅有一步從區(qū)到區(qū)的跳躍，這是因?yàn)锳區(qū)與B區(qū)的方格數(shù)相等，從B區(qū)的方格經(jīng)一步（2，3）馬必須跳到A區(qū)的緣故。考慮下面的3行，現(xiàn)考慮（2，3）馬在P，Q，R之間的跳躍。若P，Q，R均尚未跳過。有以下情形：（i）（2，3）馬首先跳到P點(diǎn)（首先跳到R的情形是類似的），由A，B區(qū)的構(gòu)造，知必是A區(qū)跳到P點(diǎn)的。繼而由（2，3）馬從P至Q，Q至R.如果只不是最后一個(gè)未跳過的點(diǎn)。則下一步必須跳至A區(qū)的某一點(diǎn)。這樣就出現(xiàn)了在A區(qū)之間的2次跳躍，因此R就是最后一個(gè)未跳過的點(diǎn)。當(dāng)R是最后一個(gè)未跳過的點(diǎn)時(shí)，則考慮點(diǎn)S，T，U之間的（2，3）馬的馬步跳躍。當(dāng)先跳到S或U時(shí)，由上述討論可知，在S，T，U間會出現(xiàn)第2次從A區(qū)到A區(qū)的跳躍；當(dāng)先跳到T時(shí)，由下述（ii）的推理知至少出現(xiàn)兩次從A區(qū)到A區(qū)的跳躍。

（ii）（2，3）馬首先跳到Q點(diǎn)，則（2，3）馬從Q至P，P必至A區(qū)，經(jīng)若干步又由A區(qū)跳到R點(diǎn)，至少出現(xiàn)2次從A區(qū)至A區(qū)的跳躍。（Q先至R后到P，討論相同）

若從Q不跳到P或R點(diǎn)，它必跳到A區(qū)的某一點(diǎn)，則在以后的跳躍中，必然會出現(xiàn)一次從A區(qū)跳至P點(diǎn)，一次從A區(qū)跳至R點(diǎn)，同樣會出現(xiàn)至少2次的從A區(qū)至A區(qū)的跳躍?？傊?，至少存在著2步從A區(qū)至A區(qū)的（2，3）馬的跳躍，這與存在（2，3──馬馬步哈密頓路及A區(qū)，B區(qū)方格數(shù)相等相矛盾，定理證畢。