摘要： 由于解析幾何的學科特點，使我們在解析幾何的學習過程中往往特別
強調(diào)用代數(shù)方法解決幾何問題的重要性，而忽視幾何圖形解決問題的
優(yōu)越性，尤其忽視解析幾何中的圖形在其它數(shù)學分支的作用。其實，
同時強調(diào)問題的兩個方面的重要性更有利于提高綜合運用知識的能力。
華羅庚大師曾說： “數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”. 這可謂是對數(shù)形結(jié)合思想的精辟論述。
在解決數(shù)學問題時，有意識地將數(shù)的問題從“形”的角度去觀察、分析和解決；而對形的問題則借助“數(shù)”的理論去處理，這種“形”“數(shù)”相互轉(zhuǎn)化利用的解決問題的策略，就叫“數(shù)形結(jié)合的思想方法”。
在解析幾何中我們充分強調(diào)了用代數(shù)方法解決幾何問題的解析法，它解決了許多僅靠圖形無法精確討論的問題，顯示了“數(shù)”的巨大威力。同時也看到許多問題從“形”的角度去思考，找到了不少直觀簡捷的解題方案，展現(xiàn)了“形”的無窮魅力。
其實，若能有意識的開發(fā)和利用解析幾何中的“形”，我們會發(fā)現(xiàn)它在方程、不等式、函數(shù)、三角、復(fù)數(shù)、數(shù)列等代數(shù)分支中也有不俗的表現(xiàn)，它往往比用純代數(shù)理論進行的抽象的推算要簡捷明朗得多。本文就想從常見的幾個方面說明一下解析幾何中“形”的開發(fā)和
利用問題。
一、解方程（組）時可聯(lián)想曲線的交點
例1． 實數(shù)m為何值時方程 sin2x –sinx + m = 0 有兩解、
一解、無解 ？
分析： 原方程轉(zhuǎn)化成函數(shù)式 m = - sin2x + sinx
再令t = sinx 則m = - t 2 + t ，后又
聯(lián)想“拋物線弧段y = - t 2 + t 與直線 y=m 的交點的個數(shù)”
即得： 時方程有兩個不同的實數(shù)解
或m=1/4 時方程有唯一的的實數(shù)解
m< -2或m>1/4 時方程無解
說明：本題是三角方程的解的討論問題，通過聯(lián)想“形”使方程問題轉(zhuǎn)化為兩個圖形的交點的個數(shù)問題，簡單明了。
例2．復(fù)數(shù)z滿足 求 復(fù)數(shù) z
分析：聯(lián)想“形”
表示中心在原點、焦點為A(-3,0)、 B(3,0)
長軸長為10的橢圓。
而 則表示中心在原點、焦點為C(0,5) 、D(0,-5)，
實軸長為8的雙曲線的下支。
那么復(fù)數(shù) z 即上述兩曲線（橢圓和雙曲線下支）的交點 Z 對應(yīng)的復(fù)數(shù)，
圖示 可知 交點P(0,-4) ， 故 復(fù)數(shù)z = - 4i
說明：本題是復(fù)數(shù)方程，若設(shè) z = x + yi 解復(fù)數(shù)方程， 計算量將會很大。
而通過聯(lián)想 “形”轉(zhuǎn)化為兩曲線交點問題，一目了然，輕松過關(guān)。
二、證不等式時 注意 “望 式 生 形 ”
分析：聯(lián)想“形”，將
看成動點 之間的距離不小于 ，
而點P在 定圓 x2 + y2=2上,
點Q 在定雙曲線 xy = 9 (反比例函數(shù)的圖象) 上。
由圖示顯然可知 動點P與Q間的距離的最小值為2 。不等式得證。
說明：本題通過聯(lián)想“形”使一個不易證的三角不等式問題轉(zhuǎn)化為兩曲線上的動點的距離問題，直觀簡捷。
例2．
分析：聯(lián)想“形”，將 –1 < < 1 看作兩點 P(1, a)、 Q(- ab, - b)
的連線的斜率介于 -1 ，+1之間，
又A(- a , - 1) 、B(a ,1)與 P連線的斜率 KPA , KPB分別為 +1 , -1
而Q在A、B之間， 故KPB < KPQ < KPA ，則 本題就得證。
說明：本題通過聯(lián)想，將證絕對值不等式問題轉(zhuǎn)化成看共點的三直線的斜率大小問題。
三、解無理、二次不等式，常可從圖（圓錐曲線和直線）上看出解。
例1 . 解不等式
分析： 聯(lián)想左邊為拋物線y2=2x+5在 x 軸上方的一段, 右邊為直線y=x+1
而 的根為2 ， 兩圖的交點為A(2,3) ，那么，不等式的解, 即 直線在拋物線段下面的部分 對應(yīng)的點的橫坐標， 即
說明：本題通過聯(lián)想基本曲線的圖形，將解不等式問題轉(zhuǎn)化成看兩圖的上下關(guān)系問題。
例2. 解不等式 [ 2003年高考（13）題 ]
分析： 聯(lián)想左邊為圓 (x-2)2+y2 = 4在 x 軸及上方的部分, 右邊為直線y = x
而 的根為x=0 和x=2 ，所以 兩圖的交點為A(0,0)、B(2,2) ，那么，不等式的解即 直線在圓弧段上面的部分 對應(yīng)的點的橫坐標， 即
說明：本題通過聯(lián)想基本曲線的圖形，將解不等式問題轉(zhuǎn)化成看兩圖的上下關(guān)系問題。
例3． a>0 解含參不等式 （2000年高考20題）
分析：聯(lián)想“形”
左邊為等軸雙曲線 x2–y2 = -1 在 x軸上方的一支（其漸進線的斜率 - 1，+1）
右邊為含參直線 y = a x + 1
畫圖易知
0<a<1時解集為
說明：本題通過聯(lián)想 、畫圖迅速得到了解答，拓寬了解含參不等式解題思路。
四、求分式（根式）的最值，可試著聯(lián)想斜率（距離）而得到解
例1．實數(shù)滿足 x+y+1=0 ，求根式 的最小值
分析：將 “聯(lián)想成直線x+y+1=0上點P(x,y) 到定點A(1,1)的
距離”。那么 的最小值， 即點A(1,1)到直線x+y+1=0的
距離 ， 即所求的最小值為
（本題將 y= -1- x代入 也可以）
說明：本題通過聯(lián)系“形”使一個求最值問題轉(zhuǎn)化成點線距離問題，減少了計算量。
例2 . 實數(shù)x , y滿足 (x-2)2 + y2 = 3 求 的最大值.（90年高考題）
分析：聯(lián)想 (x-2)2 + y2 =3即以C(2,0)為圓心,以 為半徑的圓.
而x,y為圓上的點P的橫、縱坐標， 那么，分式 =
即可看成 直線OP的斜率。由圖知 其最大值為
說明：本題通過聯(lián)想“形”使最值問題轉(zhuǎn)化為圓的切線的斜率問題，形象直觀，
簡單易行。
例3． 實數(shù)x, y滿足4x2 = 8 - y2
分析：聯(lián)想4x2 = 8 - y2 即橢圓 ，而P(x,y)為橢圓上的任一點 P到兩定點A(0,3)
B(2,1)的距離和， 又定點A(0,3) B(2,1)連線段與橢圓有交點（兩個），
所以，所求的最小值即為A、B兩點之間的距離
說明：本題通過聯(lián)想“形”使一個繁瑣的代數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化成簡單的兩個定點間
的距離問題，不僅找到了方法，拓寬了思路，而且體會到了數(shù)學的簡捷美和
數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性。
總之，有意識地用數(shù)形轉(zhuǎn)化的思想和意識地去思考問題、分析并解決問題,
不僅可以拓寬思路、融會貫通，而且可以提升思維的深刻性、敏銳性和靈活性，
還有利于提高綜合運用知識分析問題、解決問題的能力，更有利于形成“客觀
事物都是普遍聯(lián)系的、在一定的條件下可以互相轉(zhuǎn)化的”的辨證唯物主義思想。
