以偏概全證題例析

瀏覽：824 來源：廣深家教信息網(wǎng) 日期：2009-10-02

在平面幾何解證題中，我們常可看到因考慮不周，造成解答不完整，以偏概

全的錯(cuò)誤.本文就此舉幾例

并分析如下，以期引起讀者的重視.

分析：以上證法僅僅適用于角C是銳角（如圖1）和直角（如圖2）的情形。

例2 證明平行線等線段定理（只證明三條平行線的情形）。

求證：BD=DF.

證明:過點(diǎn)B、D分別作GH的平行線BM、DN，分別交CD、EF于點(diǎn)M、N，得平行四邊形

分析上述證明只適用于KL與GH 相交且交點(diǎn)不重合于B和D的情況，

當(dāng)KL平行于GH時(shí)，ΔBMD和ΔDNF都不存在；當(dāng)點(diǎn)B與A或D與C重合時(shí)，過B或D且平行于GH的直

線不存在?？梢?，該定理的嚴(yán)格證明應(yīng)分以下三種情況：

（3）如果KL與GH相交于除C而外的點(diǎn)（如圖7），那么過D作GH的平行線交直線a于M，交直線
b于N，利用（1）的結(jié)果有DM=DN，再由（2）的結(jié)果就有BD=DF。

例3 圓O₁與圓O₂與相交于A、B兩點(diǎn)，C為圓O₁外、園O₂上任一點(diǎn)，直線CA，CB分別與圓O₁
相交于D、E，則弦DE為定值。

證明: 如圖8，連結(jié)DB.

∵A、B為定點(diǎn)，

∴弦DE為定值.

分析以上只證明了D、E在AB同側(cè)的情況，還應(yīng)補(bǔ)證D、E在AB兩側(cè)的情形：
如圖9，連結(jié)DB、AE.

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