完全錯誤的負(fù)數(shù)定義　　

內(nèi)容提要：本文對初中一年級數(shù)學(xué)課本中的正數(shù)和負(fù)數(shù)概念進(jìn)行了深入分析與考察，判定“意義相反的量”包含性質(zhì)相反的量和界位相反的量兩個有本質(zhì)差別的內(nèi)容，證明數(shù)軸上的正數(shù)和負(fù)數(shù)是假正數(shù)和假負(fù)數(shù)，肯定了我國數(shù)學(xué)家劉徽提出的正、負(fù)數(shù)定義，否定了“負(fù)數(shù)是比零小的數(shù)”這一從西方引進(jìn)的負(fù)數(shù)定義，從而為最終掃除“虛數(shù)”迷霧奠定了理論基礎(chǔ)。　　

主題詞：負(fù)數(shù)   定義   批判　　

     負(fù)數(shù)概念，在數(shù)學(xué)史上曾經(jīng)出現(xiàn)過兩個定義。第一個定義是我國魏晉時期的大數(shù)學(xué)家劉徽（225年—295年）于公元263年在《九章算術(shù)注》中提出的。《九章算術(shù)》是我國西漢初期的歷算學(xué)家張蒼和耿壽昌先后收集并增補(bǔ)先秦《九數(shù)》遺文而編定的數(shù)學(xué)經(jīng)典。在《九章算術(shù)》第八章中有一段話專門記述了正數(shù)、負(fù)數(shù)和零混合加減的處理辦法。原文是：“正負(fù)術(shù)曰：同名相除，異名相益，正無入負(fù)之，負(fù)無入正之。其異名相除，同名相益，正無入正之，負(fù)無入負(fù)之?！痹谶@八句正負(fù)術(shù)口訣中，“同名”、“異名”分別指同號、異號；“相益”、“相除”分別指兩數(shù)的絕對值相加、相減；“無入”是指本應(yīng)先在的合并對象不存在，也就是被加數(shù)或被減數(shù)為零；前四句口訣講的是正數(shù)、負(fù)數(shù)和零的減法法則，意思是同號兩數(shù)相減，將絕對值相減，異號兩數(shù)相減，將絕對值相加，零減去正數(shù)得負(fù)數(shù)，零減去負(fù)數(shù)得正數(shù)；后四句口訣講的是正數(shù)、負(fù)數(shù)和零的加法法則，意思是異號兩數(shù)相加，將絕對值相減，同號兩數(shù)相加，將絕對值相加，零加正數(shù)得正數(shù)，零加負(fù)數(shù)得負(fù)數(shù)。這些法則與今天的正、負(fù)數(shù)加減運(yùn)算法則是一致的?？上У氖牵毒耪滤阈g(shù)》沒有論及正數(shù)和負(fù)數(shù)的定義，此缺陷一直延續(xù)四百多年，直到劉徽給《九章算術(shù)》作注時才得以彌補(bǔ)。劉徽在注釋“正負(fù)術(shù)”時，一開始就給正數(shù)和負(fù)數(shù)下了定義，他明確指出：“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之。正算赤，負(fù)算黑。否則以邪正為異?！边@幾句話的意思就是：當(dāng)兩數(shù)在加法運(yùn)算中會引起增加和減少兩種相反結(jié)果時，要用“正數(shù)”和“負(fù)數(shù)”對這兩種數(shù)分別命名；正數(shù)用紅色算籌表示，負(fù)數(shù)用黑色算籌表示，否則就用斜著擺放與正著擺放的算籌分別代表負(fù)數(shù)和正數(shù)，以顯示對負(fù)數(shù)和正數(shù)的區(qū)別。從劉徽這幾句話里，我們可以看到兩個思想要點(diǎn)：其一是，進(jìn)行正負(fù)數(shù)命名的前提條件是“兩算得失相反”，即“兩算”的性質(zhì)相反，是相互抵消關(guān)系，“兩算”是在相反的數(shù)量關(guān)系中同時存在的，它們互為對立面；其二是，當(dāng)“兩算得失相反”時，必須對相反的“兩算”進(jìn)行區(qū)分，不僅是“要令正負(fù)以名之”，即用“正”“負(fù)”相反的名稱把“兩算得失相反”的本質(zhì)體現(xiàn)出來，而且在有了“正”“負(fù)”相反的名稱之后還要在運(yùn)算過程中選用一定的方式把“兩算”相反的性質(zhì)予以標(biāo)明、顯示，不管采用什么方式都可以，但不能不標(biāo)示，不能不區(qū)分。根據(jù)劉徽的這幾句話我們得知：正數(shù)和負(fù)數(shù)就是用以區(qū)分和表示在運(yùn)算中相互抵消的“兩算”——兩種量——的數(shù)，正數(shù)和負(fù)數(shù)互為對立面?！　?/P>

     公元七世紀(jì)期間，印度數(shù)學(xué)家也深入探討了正數(shù)和負(fù)數(shù)。在這些數(shù)學(xué)家中有著名的婆羅摩及多，他把正數(shù)叫做“財產(chǎn)”，把負(fù)數(shù)叫做“負(fù)債”，還采用在數(shù)字上面標(biāo)上方向相反的箭頭這種簡便明確的方式區(qū)別正數(shù)和負(fù)數(shù)。印度數(shù)學(xué)家很早就發(fā)現(xiàn)正數(shù)的平方根有兩個值①，但是他們沒有提出正數(shù)和負(fù)數(shù)的定義?！　?/P>

    在數(shù)學(xué)史上，提出負(fù)數(shù)第二個定義的是德國數(shù)學(xué)家米哈依爾.史提非（約1486年—1567年），他在發(fā)表于1544年的數(shù)學(xué)論文《整數(shù)算術(shù)》中，把負(fù)數(shù)定義為“比零小的數(shù)” ②。　　

      對于史提非的這個定義，許多人感到難以接受，因?yàn)槿藗冋J(rèn)為，零的本義是表示什么也沒有，已經(jīng)是最小的數(shù)了，不可能再小了。但是，要說人們完全不承認(rèn)史提非的定義，也不確切，事實(shí)上也確有人認(rèn)為負(fù)數(shù)只能比零小，因?yàn)樨?fù)數(shù)只有在被減數(shù)小于減數(shù)時才出現(xiàn)，它所表示的是減數(shù)把被減數(shù)減完之后又繼續(xù)往下減的結(jié)果，這就和一個人把屬于自己的財產(chǎn)用盡之后又借了貸、負(fù)了債一樣。兩種觀點(diǎn)似乎都有道理，于是人們陷入了困惑之中。美國著名數(shù)學(xué)評論家M.克萊因在他的著作《數(shù)學(xué)：確定性的喪失》中對這種困惑進(jìn)行了反映，他寫道：“在16、17世紀(jì)，并沒有許多數(shù)學(xué)家心安理得地使用或者承認(rèn)負(fù)數(shù)，更談不上承認(rèn)它們可以作為方程的真實(shí)的根。”③但是，歷史并不因?yàn)槔Щ蠖ｎD。讓人難以置信而又必須承認(rèn)的是，人們（其中包括史提非）正是在困惑中打破了長期存在的減數(shù)不能大于被減數(shù)的認(rèn)識局限，終于寫出了3－5＝－2之類的運(yùn)算式子。更讓人難以相信的是，法國偉大哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家笛卡爾也對“負(fù)數(shù)是比零小的數(shù)”之說法長期困惑，但也就是他，一邊因?yàn)樨?fù)數(shù)是比零小的數(shù)而把方程的負(fù)根稱作假根，一邊又在《幾何學(xué)》中為具有劃時代意義的平面直角坐標(biāo)系新理論奠定了基礎(chǔ)，④促使數(shù)學(xué)得到了空前的發(fā)展。這種不合邏輯的現(xiàn)象應(yīng)該怎樣解釋呢？這是值得每個關(guān)心科學(xué)發(fā)展和人類進(jìn)步的人認(rèn)真深思的問題?！　?/P>

     令人遺憾的是，時至今日沒有人對負(fù)數(shù)的第二個定義所引起的困惑作出令人滿意的解答，時至今日也沒有人對負(fù)數(shù)的兩個明顯不統(tǒng)一的定義給予深入的剖析和評斷，甚至沒有人提到過負(fù)數(shù)有兩個互不協(xié)調(diào)的定義；而最能體現(xiàn)和反映當(dāng)今數(shù)學(xué)界主流思想的數(shù)學(xué)教科書竟然對正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念作出含糊的處理，竟然在不知不覺的情況下完成了兩次偷換概念，最終舍棄正、負(fù)數(shù)的正確定義，肯定了正、負(fù)數(shù)的錯誤定義。讀者如果不相信這是事實(shí)，請看經(jīng)全國中小學(xué)教材審定委員會2001年初審?fù)ㄟ^的初中一年級數(shù)學(xué)課本。　　

    為了避免考察對象缺乏代表性，筆者曾對我國改革開放以來的幾種初中一年級數(shù)學(xué)課本進(jìn)行反復(fù)對照，認(rèn)為最新課本中涉及正、負(fù)數(shù)概念的內(nèi)容與前幾種課本中的相應(yīng)內(nèi)容大同小異，可以肯定不是一家之言，不是無源之言，也可以肯定不是偶然失誤。筆者之所以要選定最新數(shù)學(xué)課本為考察對象，一是因?yàn)樗钦n本，是專門用來教育人的，只要有錯誤就必然引起大范圍的不良影響；二是因?yàn)樗容^集中比較系統(tǒng)比較明白地體現(xiàn)和反映了數(shù)學(xué)界對正數(shù)和負(fù)數(shù)概念的錯誤認(rèn)識，而且這種錯誤已經(jīng)給整個數(shù)學(xué)體系帶來了連帶性惡果，引出了邏輯性謬誤，如果不徹底糾正這種錯誤，就提不出新的數(shù)概念，就不會有在新的數(shù)概念名義下的運(yùn)算法則，因而也就不能對負(fù)數(shù)開平方作出合理的令人心服口服的科學(xué)解釋。那么，數(shù)學(xué)教科書究竟錯在什么地方呢？　　

在經(jīng)全國中小學(xué)教材審定委員會2001年初審?fù)ㄟ^的初中一年級數(shù)學(xué)課本中，第二章前五節(jié)依次講述了正數(shù)和負(fù)數(shù)概念、數(shù)軸概念、相反數(shù)概念、絕對值概念、有理數(shù)的大小比較；后十節(jié)依次講述了有理數(shù)加減乘除和乘方運(yùn)算法則等。這一章課文（下文考察內(nèi)容主要是這一章，不再指明）從表面上看是一環(huán)緊扣一環(huán)，井井有條，結(jié)構(gòu)十分嚴(yán)謹(jǐn)，明白無誤，但仔細(xì)考究起來，卻不能不讓人得出相反的結(jié)論：基本概念含糊、扭曲，被以假充真；內(nèi)容前后矛盾。筆者經(jīng)反復(fù)探討，把其中存在的原則性失誤歸納為三大項(xiàng)：正數(shù)和負(fù)數(shù)概念含糊扭曲，數(shù)軸表示的對象含糊扭曲，絕對值概念含糊扭曲。下面，我們就對這三大項(xiàng)依次論證：　　

㈠正數(shù)和負(fù)數(shù)概念含糊、扭曲　　

新課本第二章第一節(jié)是專講正數(shù)和負(fù)數(shù)概念的。為了說明什么是正數(shù)和負(fù)數(shù)，課文一開始就列舉出五個例子：　　

例1、汽車向東行駛　3千米　和向西行駛　2千米　 ； 　　

例2、溫度是零上　10°c　和　零下5°c　；　　

例3、收入500元和支出237元；　　

例4、水位升高　1.2米　和下降　0.7米??；　　

例5、買進(jìn)100輛自行車和賣出20輛自行車。　　

課文舉例之后歸納道：　　

      這里出現(xiàn)的每一對量，雖然有著不同的具體內(nèi)容，但有著一個共同特點(diǎn)：它們都是具有相反意義的量。向東和向西、零上和零下、收入和支出、升高和下降、買進(jìn)和賣出都是具有相反的意義?！　?/P>

課文指出五個例子的“共同特點(diǎn)”之后又指出，若“只用原來學(xué)過的數(shù)很難區(qū)分具有相反意義的量”。接下來就提出區(qū)分的辦法：　　

     一般地，對于具有相反意義的量，我們可把其中一種意義的量規(guī)定為正的，用過去學(xué)過的數(shù)表示；把與它意義相反的量規(guī)定為負(fù)的，用過去學(xué)過的數(shù)（零除外）前面放一個“－”號來表示?！　?/P>

課文講完區(qū)分“具有相反意義的量”的辦法，馬上就用所列舉的例子進(jìn)行演示，把例1中汽車向東行駛　3千米　記為　3千米　，向西行　2千米　記為－　2千米??；把例2中零上　10°c　用　10°c　表示，　零下5°c　用－　5°c　表示；把例3中收入500元記為500元，支出237元記為－237元。在具體演示的基礎(chǔ)上，課文進(jìn)一步說明：　　

     為了表示具有相反意義的量，上面我們引進(jìn)了―5、―2、―237等數(shù)，像這樣的數(shù)是一種新數(shù)，叫做負(fù)數(shù)。過去學(xué)過的那些數(shù)（零除外），如10、3、500、1.2等，叫做正數(shù)。正數(shù)前面有時也可以放上一個“＋”號，如5可以寫成＋5?！　?/P>

在這一段總結(jié)性說明的旁邊有一句旁白告訴我們：“＋5和5是一樣的。”在這一段說明的后邊有一句加有“注意”的重要提示：“零既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)?！薄　?/P>

     這就是第一節(jié)課文所講授的正數(shù)和負(fù)數(shù)！筆者為了讓讀者詳細(xì)了解新課本是如何講解正數(shù)和負(fù)數(shù)概念的，幾乎是把第一節(jié)課文全部搬上了“公案”。也許會有讀者發(fā)議論：“什么‘含糊’‘扭曲’！我們認(rèn)為第一節(jié)課文已經(jīng)把正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念講得清清楚楚了，根本不存在什么問題?！惫P者要說：你們認(rèn)為不存在什么問題，那是因?yàn)槟銈兛疾鞎r習(xí)慣于走熟路。如果你稍微仔細(xì)一點(diǎn)，就會吃驚地發(fā)現(xiàn)在第一節(jié)課文中存在兩個原則性失誤：其一是，把完全不同的兩類“具有相反意義的量”混為一談，其二是，毫無根據(jù)地宣稱“過去學(xué)過的那些數(shù)（零除外）”“叫做正數(shù)”；正是這兩個原則性失誤最終導(dǎo)致假正數(shù)和假負(fù)數(shù)概念久占數(shù)學(xué)“庭堂”！　　

     下面讓我們進(jìn)行一些具體分析。首先，讓我們來關(guān)注“具有相反意義的量”?？梢院敛豢鋸埖卣f，“具有相反意義的量”在第一節(jié)課文中是一個關(guān)鍵性的概念，如果沒有這個概念，就不會有“正數(shù)”“負(fù)數(shù)”概念出現(xiàn)。這是因?yàn)?，第一?jié)課文把所有成對的具有相反意義的量視作正數(shù)和負(fù)數(shù)在現(xiàn)實(shí)中的原型，視作正數(shù)和負(fù)數(shù)代表的對象。必須肯定，這是一個十分正確的觀念和思路?？上У氖牵n文對“具有相反意義的量”未加甄別，竟然含含糊糊把所列舉的五個例子當(dāng)成一個類型，把每一對具有相反意義的量都用正數(shù)和負(fù)數(shù)進(jìn)行了表示，不知不覺地在數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ)部位埋下了禍根。事實(shí)上，第一節(jié)課文所列舉的五對具有相反意義的量屬于兩大類型：例1、例3、例4、例5屬于一類，依據(jù)其特征可稱其為性質(zhì)相反的量，簡稱甲類；例2屬于另一類，依據(jù)其特征可稱其為界位相反的量，簡稱乙類。甲類同乙類相比較，具有以下幾點(diǎn)本質(zhì)差別：　　

     差別之一是，甲類具有相反意義的量的雙方都以提示變化的短語為標(biāo)志，雙方都是表示變化的量；乙類具有相反意義的量的雙方都不以提示變化的短語為標(biāo)志，而以表示當(dāng)時“位置”和狀態(tài)的短語為標(biāo)志，雙方都是靜態(tài)量，都是不變量。由于標(biāo)志不同，我們可以毫不費(fèi)力地分辨出甲類和乙類。例如，當(dāng)我們遇上“氣溫由零下　10℃　上升到零上　10℃　”和“氣溫由零上　10℃　下降到零下　10℃　”這樣的陳述時，馬上就可以判斷出這種數(shù)量關(guān)系屬于甲類，兩個陳述都表示氣溫變化20度，只是變化的方向相反；當(dāng)我們遇上“氣溫是零下　10℃　和零上　10℃　”這樣的陳述時，馬上就可以看出這種數(shù)量關(guān)系屬于乙類，它所表示的是兩個不同地方的氣溫或者是兩個不同時間的氣溫，這兩個數(shù)量都表示既成的事實(shí)，都不表示相互間會產(chǎn)生什么影響?！　?/P>

差別之二是，甲類雙方都是既有大小規(guī)定又有“趨向”規(guī)定的數(shù)量（權(quán)且稱為“有性量”），乙類雙方都是只有大小規(guī)定而無“趨向”規(guī)定的數(shù)量（權(quán)且稱為“無性量”）。也許讀者會對乙類雙方都是無性量這一說法心存疑慮。為了釋疑，讓我們設(shè)想把零上　10℃　和　零下　5℃　　分別換算成開氏溫度計上的溫標(biāo)。這個換算并不改變這兩個數(shù)量的本質(zhì)，但是，當(dāng)我們把攝氏溫標(biāo)變成開氏溫標(biāo)時，立刻就可以看出，原來的零下溫度并不是所謂的負(fù)溫度，原來的零上溫度并不是所謂的正溫度，二者之間并不存在正熱與負(fù)熱的不同，只存在熱的程度的不同?！　?/P>

差別之三是，甲類雙方相互作用，相互影響，互為逆過程，是相互抵消關(guān)系；乙類雙方之間互不干擾，既不是相互抵消關(guān)系，也不是相加關(guān)系。我們來舉例說明。眾所周知，如果倉庫搬進(jìn)10筐梨，倉庫必然要增加10筐梨，如果再搬進(jìn)10筐梨，倉庫就要再增加10筐梨，變成總共增加20筐梨；如果搬出10筐梨，倉庫必然就要減少10筐梨，如果再搬出10筐梨，倉庫內(nèi)就要再減少10筐梨，變成共減少20筐梨，倉庫內(nèi)所增加的20筐梨就一筐也不剩了。這一具體例子告訴人們：正數(shù)和負(fù)數(shù)是由搬進(jìn)和搬出之類的變化過程規(guī)定的，正數(shù)和負(fù)數(shù)是以相反的變化關(guān)系為存在條件的。這一具體例子還告訴人們：這里的運(yùn)算法則——變化“方向”相同的數(shù)量相加，變化“方向”相反的數(shù)量相減——不是通過什么理論推導(dǎo)出來的，而是從客觀實(shí)際中悟出來的。這也就是說，此處所用的運(yùn)算法則的根是扎在搬進(jìn)和搬出的運(yùn)動過程之中，是由客觀規(guī)律決定的。明白了這個道理，我們就會對那種把零上　10℃　和　零下5℃　分別當(dāng)成正數(shù)和負(fù)數(shù)從而使其能夠相互抵消的主張感到可笑。因?yàn)?，在“溫度是零上?0℃　和　零下　5℃　　”這一陳述中沒有任何關(guān)于變化的提示，我們除了知道這兩個溫度標(biāo)數(shù)相差15個溫度單位（注意：是15個溫度單位，不是　10℃　減　5℃　所得的溫度；這15個溫度單位不是表示兩個溫度的合并，而是表示兩個熱的程度的“區(qū)間”，既不能冠以“零上”，也不能冠以“零下”）之外，不知道它們將會發(fā)生什么關(guān)聯(lián)，因此我們也就沒有把他們放在同一個統(tǒng)計系統(tǒng)中作消漲處理的理由?！　?/P>

差別之四是，有理數(shù)的加法法則——①同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；②絕對值不同的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；③互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得零；④一個數(shù)和零相加，仍得這個數(shù)——對甲類具有相反意義的量是有效的，對乙類具有相反意義的量是無效的?！　?/P>

了解了兩類具有相反意義的量之間的本質(zhì)差別，我們就可以清楚的看到，新課本第二章第一節(jié)課文實(shí)際上是通過兩類“具有相反意義的量”暗暗傳授我們兩種“正數(shù)”和“負(fù)數(shù)”——其中一種是相互之間等量抵消的正數(shù)和負(fù)數(shù)，其中另一種是不能抵消的根本不分正負(fù)的“正數(shù)”和“負(fù)數(shù)”。同時，我們也可以清楚地看到，只有代表甲類雙方的正數(shù)和負(fù)數(shù)才有資格被稱為正數(shù)和負(fù)數(shù)，才是真正的正數(shù)和負(fù)數(shù)；而用來代表乙類雙方的“正數(shù)”和“負(fù)數(shù)”，不過是第一節(jié)課文在眾人不知曉的情況下塞給大家的冒牌貨！講到此處，必須進(jìn)一步作一些說明：冒牌的“正數(shù)”和“負(fù)數(shù)”在第一節(jié)課文中既沒有公開“身份”，也沒有公開“作禍”，一直與真正的正數(shù)和負(fù)數(shù)“和睦”并存；但是，在第二節(jié)課文中就不安分了，竟然在“數(shù)軸”的名義下把真正的正數(shù)和負(fù)數(shù)擠出了正數(shù)和負(fù)數(shù)的“領(lǐng)地”，從而使數(shù)學(xué)領(lǐng)域也發(fā)生了鵲巢鳩占的怪事！　　

其次，讓我們來關(guān)注“過去學(xué)過的數(shù)”。在第一節(jié)課文中，這一概念被反復(fù)提到三次：一次是說“只用原來學(xué)過的數(shù)很難區(qū)分“具有相反意義的量”；第二次是說把具有相反意義的量中一種意義的量規(guī)定為“正的”，“用過去學(xué)過的數(shù)”表示；第三次是說“為了表示具有相反意義的量，上面我們引進(jìn)了―5、―2、―237等數(shù)，像這樣的數(shù)是一種新數(shù)，叫做負(fù)數(shù)，過去學(xué)過的那些數(shù)（零除外），如10、3、500、1.2等，叫做正數(shù)”。這三處提法表達(dá)的總體意思就是：小學(xué)學(xué)生所學(xué)的數(shù)（零除外）都是正數(shù)；單用小學(xué)學(xué)過的數(shù)很難區(qū)分具有相反意義的量；要區(qū)分具有相反意義的量，必須再引進(jìn)一種叫做“負(fù)數(shù)”的“新數(shù)”。可以毫不含糊地說，第一節(jié)課文中這種起主導(dǎo)作用的思想已經(jīng)成了當(dāng)今數(shù)學(xué)界的共識。很可惜，這種共識并不是人們自己考察的結(jié)果。當(dāng)人們用自己的眼睛觀察并且用自己的頭腦思考時，就會發(fā)現(xiàn)，具有相反意義的量早就出現(xiàn)在小學(xué)算術(shù)中，小學(xué)學(xué)生學(xué)過的數(shù)，把零除外，并不全都是正數(shù)！　　

也許，會有人不相信這一否定數(shù)學(xué)界共識的結(jié)論。為了釋疑，請大家回過頭來，再看一看第一節(jié)課文為引進(jìn)正數(shù)和負(fù)數(shù)概念所列舉的例子。就拿例1來說，第一節(jié)課文已經(jīng)毫不含糊地把汽車向東行駛　3千米　和向西行駛　2千米　分別表示為＋　3千米　和－　2千米　?，F(xiàn)在，我們把例1稍加變化，寫成應(yīng)用題的形式：　　

 一輛汽車從A地出發(fā)，向東行駛　3千米　，又回頭向西行駛　2千米　，問汽車停駛后處于什么位置？　　

這樣，我們就使例1所講的兩個量成了相關(guān)量，具備了嚴(yán)格意義上的正、負(fù)關(guān)系。要解這道題，關(guān)鍵是要弄清汽車向東行駛和向西行駛對汽車的位置所產(chǎn)生的影響是相反的。根據(jù)這一理解，我們的正確處理辦法是像課文中演示的，把汽車向東行駛　3千米　和向西行駛　2千米　分別表示為＋　3千米　和－　2千米　，并且在此基礎(chǔ)上列出下面的算式：　　

  　3千米?。ǎ?千米?。健?千米　－　2千米?。健?千米　　　

于是，我們知道汽車停在A地東方　1千米　的地方。這里，要提請讀者特別注意，這道涉及正數(shù)和負(fù)數(shù)的應(yīng)用題同時也是一道小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題。按照小學(xué)應(yīng)用題來解，解題的關(guān)鍵也是要弄清汽車向東行駛和向西行駛對汽車位置的影響是相反的，但是，汽車向東行駛的路程不再叫做正數(shù)，而是叫做被減數(shù)，汽車向西行駛的路程不再叫做負(fù)數(shù)，而是叫做減數(shù)，運(yùn)算式中不再有　　

      　3千米?。ǎ?）千米，　　

而是要直接寫成　　

      　3千米?。?千米?。健?千米　?！　?/P>

現(xiàn)在，如果把這道應(yīng)用題的問話改為“問汽車一共行駛多少路程”，那么這道應(yīng)用題就不再是涉及正數(shù)和負(fù)數(shù)的應(yīng)用題了，也不再是小學(xué)的減法應(yīng)用題了，而是成了小學(xué)的加法應(yīng)用題。這是因?yàn)?，在?yīng)用題的問話改變以后，應(yīng)用題已經(jīng)不再涉及性質(zhì)相反的量了。從這里我們可以清楚地看到，正數(shù)和負(fù)數(shù)概念同被減數(shù)和減數(shù)概念具有共同的淵源，那就是性質(zhì)相反的量。一般地講：小學(xué)學(xué)生只要遇到用減法處理性質(zhì)相反的量這類問題，就注定要接觸到與正數(shù)和負(fù)數(shù)有關(guān)的問題。事實(shí)上，“具有相反意義的量”（更準(zhǔn)確的說，應(yīng)該是“性質(zhì)相反的量”）既可用正數(shù)和負(fù)數(shù)來表示并區(qū)分，也可用被減數(shù)和減數(shù)來表示并區(qū)分，被減數(shù)和減數(shù)在這里就是以另一種面目出現(xiàn)的正數(shù)和負(fù)數(shù)，是只有其實(shí)而無其名的正數(shù)和負(fù)數(shù)。讀者只要進(jìn)一步深入細(xì)致地考察，就會發(fā)現(xiàn)，小學(xué)學(xué)生解數(shù)學(xué)應(yīng)用題，在思考階段一般有兩個過程：先是根據(jù)題義分析應(yīng)用題中各個量的性質(zhì)，確定他們之間的相互關(guān)系；然后根據(jù)各個量的性質(zhì)及其相互關(guān)系，選用適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算方式。這兩個過程的前一個過程起關(guān)鍵作用，如果沒有這個過程，就沒有確定運(yùn)算方式的根據(jù)，如果這個過程出現(xiàn)差錯，就必然選錯運(yùn)算方式（有些小學(xué)生在解應(yīng)用題時不知道該用加法還是減法，往往是因?yàn)榉直娌磺鍛?yīng)用題中各個量的性質(zhì)及其相互關(guān)系）。這前一個過程的實(shí)質(zhì)，就是在沒有正數(shù)和負(fù)數(shù)的名義的情況下確認(rèn)應(yīng)用題中各個量之間的關(guān)系，其中包括正負(fù)關(guān)系。這正負(fù)關(guān)系就是我國數(shù)學(xué)家劉徽強(qiáng)調(diào)“要令正負(fù)以名之”的“兩算得失相反”關(guān)系。令人遺憾的是，這前一個起關(guān)鍵作用的區(qū)分?jǐn)?shù)量性質(zhì)及其相互關(guān)系的隱過程被人們忽視了，“兩算得失相反”這種數(shù)量關(guān)系的涵蓋范圍與理論價值也沒有受到應(yīng)有的考究，以致人們只看到解應(yīng)用題時所使用的加法和減法、減數(shù)和被減數(shù)，卻看不到選用加法或減法是以區(qū)分?jǐn)?shù)量的性質(zhì)及其相互關(guān)系為前提條件的，不知道確定加法或減法與確定數(shù)量的性質(zhì)及其相互關(guān)系在本質(zhì)上是一回事，也不知道小學(xué)學(xué)生在解應(yīng)用題時常用的加法運(yùn)算式大多是性質(zhì)相同的數(shù)量的合并表達(dá)式，減法運(yùn)算式大多是性質(zhì)相反的數(shù)量的合并表達(dá)式（順便說明：加法和減法不是僅僅處理有性數(shù)合并問題，而是也處理無性數(shù)合并問題，例如在處理整體與局部的關(guān)系時，也用加法或減法）。　　

   講到此處，也許會有人說：“應(yīng)用題涉及的數(shù)量關(guān)系與純數(shù)加減關(guān)系不同，誰也不能否認(rèn)，在純數(shù)減法運(yùn)算式中，減號前后的數(shù)都是正數(shù)?！币吻暹@種說法之錯誤，我們還必須對純數(shù)加法運(yùn)算式和減法運(yùn)算式作深入剖析。質(zhì)言之，在純數(shù)加法運(yùn)算式（如10+10=20）中有一部分是從各種帶單位名稱的性質(zhì)相同的數(shù)量的合并式（如10筐+10筐=20筐）抽象來的，在純數(shù)減法運(yùn)算式（如20－20=0）中有一部分是從各種帶單位名稱的性質(zhì)相反的數(shù)量的合并式（如前文涉及的20筐－20筐=0筐）抽象來的，抽象式舍棄了單位名稱，以相加的形式體現(xiàn)和保留了相同的數(shù)量關(guān)系，以相減的形式體現(xiàn)和保留了相反的數(shù)量關(guān)系；盡管這種抽象具有掩蓋數(shù)量性質(zhì)的弊端，但我們還是能夠看到，在純數(shù)加法運(yùn)算式和減法運(yùn)算式中如果沒有加號和減號，那么式子中就沒有加數(shù)和被加數(shù)，就沒有減數(shù)和被減數(shù)，式子中的數(shù)就成了相互之間沒有關(guān)系的數(shù)，既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)。倒回來說，當(dāng)一個數(shù)只有與減號合在一起才能被稱為減數(shù)時，它就成了形式和內(nèi)容相統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)的負(fù)數(shù)了！這樣一來，我們不能不說，第一節(jié)課文宣稱“過去學(xué)過的那些數(shù)（零除外）”“叫做正數(shù)”，只不過是傳了一條假經(jīng)，假經(jīng)中的所謂“正數(shù)” 事實(shí)上已經(jīng)把正數(shù)和負(fù)數(shù)都包括在內(nèi)了；新課本在這種觀念支配下，要繼續(xù)講“正數(shù)”和“負(fù)數(shù)”，那就只能是進(jìn)一步走邪道，傳假經(jīng)。　　

     〈二〉數(shù)軸表示的對象含糊、扭曲　　

    為了幫助人們進(jìn)一步理解并且接受正數(shù)和負(fù)數(shù)概念，第二節(jié)課文引進(jìn)了規(guī)定有原點(diǎn)、正方向和長度單位的數(shù)軸概念?？墒牵屡c愿違，引進(jìn)數(shù)軸概念不僅沒有起到幫助人們進(jìn)一步理解正數(shù)和負(fù)數(shù)的作用，反而扭轉(zhuǎn)了第一節(jié)課文的基本思路，使正數(shù)和負(fù)數(shù)由容易理解變得難以理解了。什么原因呢？原因就是，課文在具體介紹了數(shù)軸的畫法及怎樣用數(shù)軸上的點(diǎn)表示零與正、負(fù)數(shù)之后，又概括出一條比較數(shù)的大小的法則：“在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大”，“正數(shù)都大于零，負(fù)數(shù)都小于零，正數(shù)大于負(fù)數(shù)”。有了這個法則，實(shí)質(zhì)上意味著正數(shù)和負(fù)數(shù)有了與第一節(jié)課文所講定義不同的第二個定義，即：正數(shù)是大于零的數(shù)，負(fù)數(shù)是小于零的數(shù)。這樣一來，我們就不僅面臨難以確定數(shù)軸所表示的數(shù)究竟是兩類“具有相反意義的量”中哪一類的問題，而且面臨對正數(shù)和負(fù)數(shù)的兩個定義如何評斷和如何取舍的問題。而要評斷正數(shù)和負(fù)數(shù)的兩個定義，就要重新面臨16世紀(jì)歐洲數(shù)學(xué)界先哲們剛剛接觸“比零小的數(shù)”時所表現(xiàn)出來的那種困惑。　　

那么，數(shù)軸所表示的對象究竟是指的什么呢？對“比零小的數(shù)”究竟應(yīng)該怎樣理解呢？“比零小的數(shù)”到底存在不存在呢？筆者經(jīng)過反復(fù)探討和反復(fù)考察，確認(rèn)要解答并說明上述問題，必須回頭重新審視“具有相反意義的量”這個讓人耳朵出繭的概念?！　?/P>

前文已經(jīng)明確提到過，具有相反意義的量分兩大類：一類是性質(zhì)相反的量，簡稱甲類，另一類是界位相反的量，簡稱乙類；甲類與乙類之間存在四項(xiàng)本質(zhì)差別?，F(xiàn)在，我們接著前面的工作，繼續(xù)對兩類具有相反意義的量進(jìn)行考察和比較，不難看出，兩者之間除了前述的四項(xiàng)差別之外，還存在以下四項(xiàng)本質(zhì)差別：　　

差別之五是，二者的計量起點(diǎn)不同，產(chǎn)生途徑不同。性質(zhì)相反的量之雙方都是以真零為計量起點(diǎn)，雙方都是由從無到有和從小到大排序這種計量方式產(chǎn)生的，作為計量起點(diǎn)的真零代表什么也沒有，是一個空位，這個空位表示一切計量對象在一點(diǎn)上都不存在，它是一切計量對象由大到小收斂的極限。例如，收入與支出都是按從無到有和從小到大的方式計量，收入為零就是沒有收入，支出為零就是沒有支出。而界位相反的量之雙方都不是以真零為計量起點(diǎn)，而是以假零為計量起點(diǎn)。從表面上看，界位相反的量的雙方也是由從無到有和從小到大的計量方式產(chǎn)生的，事實(shí)上是由從有到有和從中間到兩極的計量方式產(chǎn)生的。具體說，這種計量方式的順序是：先在計量對象的模型的“中間部位”選取一“點(diǎn)”，然后假定這一“點(diǎn)”為零，隨后從這個假定的零點(diǎn)開始向相反的兩個“方向”計量，有窮則止，無窮不止。在這里出現(xiàn)的零不表示什么也沒有，不是空位，而是代表界位相反的量的那個模型的一個實(shí)實(shí)在在的“環(huán)節(jié)”。這個“環(huán)節(jié)”以其在模型中的特殊“位置”成為特殊的數(shù)量標(biāo)記，而處于這個“環(huán)節(jié)”兩“側(cè)”的不同的“點(diǎn)”也因其“位置”不同而成為所謂的“相反”的數(shù)量——筆者正是在這個意義上稱其為“界位相反的量”，并且把人們習(xí)慣上認(rèn)定的比假零小的數(shù)量稱為界前量，把人們在習(xí)慣上認(rèn)定的比假零大的數(shù)量稱為界后量。這里請讀者仔細(xì)看一看攝氏溫度計。不難理解，攝氏溫度計上的零度就是假零度，這個零度不表示沒有溫度，這個零度以上和以下的溫度只有高低的差別，沒有正性和負(fù)性的差別。與攝氏溫度類似的界位相反的量還有很多，例如海平面以下高度和海平面以上高度，某時間以前和某時間以后，等等。就拿時間來說，作為公元紀(jì)年起點(diǎn)的耶酥降生時間就是一個具體的實(shí)在的時間，人們之所以選定這個時間作為公元計時起點(diǎn)，不是因?yàn)檫@個時間及其以前沒有時間，也不是因?yàn)檫@個時間以前的時間是負(fù)時間，而是因?yàn)檫@個時間比較有紀(jì)念意義，還因?yàn)槿藗兇_實(shí)找不到最終的時間起點(diǎn)?！　?/P>

差別之六是，性質(zhì)相反的量之雙方不是同屬于一種計量對象（更準(zhǔn)確一些說，應(yīng)該把這里的“計量對象”換成“計量模型”），而是屬于兩種計量對象。例如，對收入量和支出量，在統(tǒng)計時要分設(shè)“收入”和“支出”兩個欄目，不能把收入量和支出量放在同一個欄目中；在用直線模型表示時，要把收入量和支出量分別用方向相反的兩條直線表示，不能只用一條直線表示。而界位相反的量之雙方同屬于一種計量對象，不是屬于兩種計量對象。例如，對零上溫度和零下溫度，在統(tǒng)計時只須設(shè)一個“溫度”欄目，不須設(shè)“零上溫度”和“零下溫度”兩個欄目；在用直線模型表示時，只能用一條直線表示，不能用兩條直線表示。　　

差別之七是，性質(zhì)相反的量之雙方的界點(diǎn)是一個斷點(diǎn)，這個界點(diǎn)不能移動，如果移動，就會把兩種計量對象混雜在一起；而界位相反的量之雙方的界點(diǎn)不是斷點(diǎn)，這個界點(diǎn)可以移動，如果移動，不會出現(xiàn)不同計量對象的混雜，不會混淆數(shù)量性質(zhì)。例如，測量溫度可以根據(jù)需要選用不同的溫度計，而改換溫度計實(shí)際上就起到了移動溫度界點(diǎn)的作用。當(dāng)我們選用攝氏溫度計時，標(biāo)準(zhǔn)大氣壓條件下水的凝固溫度就成了我們選定的測量溫度的計量起點(diǎn)。當(dāng)我們選用開氏溫度計時，絕對零度就成了我們選定的測量溫度的計量起點(diǎn)，在這種情況下，雖然測量的對象沒有變化，但是溫度的標(biāo)數(shù)卻發(fā)生了重大變化：同是標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下水的凝固點(diǎn)，卻由零度變成273.15度；原來所謂的負(fù)溫度沒有立腳之地了，原來所謂的正溫度也不存在了。　　

差別之八是，性質(zhì)相反的量中雙方都以純數(shù)——絕對值——代表自身的大小，并且用比較絕對值大小的方式比較雙方的大??；界位相反的量中雙方比較大小不以絕對值大小為判據(jù)，而以比較代表數(shù)量的“位點(diǎn)”處于假零那一“側(cè)”為判據(jù)；界前量都小于零，界后量都大于零，界前量總是小于界后量，界前量中絕對值大的量反而更小。　　

通過對具有相反意義的量進(jìn)行分析，再把兩類具有相反意義的量各自具有的八個特征同數(shù)軸的特征進(jìn)行對照，我們就可以清楚地看到：①在這里，“比零小的數(shù)”就是界位相反的量中比假零小的數(shù)（請讀者注意，所謂“比零小的數(shù)”其實(shí)有兩種，后文還要剖析另一種，此處不詳述），這種比假零小的數(shù)同比假零大的數(shù)合起來構(gòu)成同一個計量模型除假零以外的兩部分，但是構(gòu)不成正數(shù)和負(fù)數(shù)必須具備的的相互抵消關(guān)系，所以“比零小的數(shù)”根本就不是負(fù)數(shù)，而處于這種計量模型中的比零大的數(shù)也根本就不是正數(shù)。②數(shù)軸實(shí)際上是界位相反的量的圖象，不是性質(zhì)相反的量的圖象。③數(shù)軸上的零不是真零，數(shù)軸上的“正數(shù)”和“負(fù)數(shù)”不是真正的正數(shù)和負(fù)數(shù)，數(shù)學(xué)教材引進(jìn)數(shù)軸的客觀效果是偷換了正數(shù)和負(fù)數(shù)概念的實(shí)質(zhì)性內(nèi)容，讓假零頂替了真零，讓假正數(shù)頂替了真正數(shù)，讓假負(fù)數(shù)頂替了真負(fù)數(shù)。④有理數(shù)加法法則不適用數(shù)軸上的數(shù)。⑤在數(shù)軸上比較數(shù)量大小的法則只宜在界位相反的量中使用，不宜在性質(zhì)相反的量中使用，如果在性質(zhì)相反的量中使用，就勢必否定行之有效的以比較絕對值大小判定數(shù)量大小的法則，導(dǎo)致大小觀念的扭曲，認(rèn)大為小，讓小為大，歪曲事理。⑥數(shù)軸上的箭頭只能表示右邊的數(shù)大于左邊的數(shù)，不能表示數(shù)量的性質(zhì)（盡管教科書是讓它表示數(shù)量的性質(zhì)，但終究不行）。⑦如果硬要讓數(shù)軸能夠表示真正的正數(shù)和負(fù)數(shù)，那就必須給數(shù)軸的左端再加上一個與數(shù)軸右端的箭頭指向相反的箭頭，并且作出四點(diǎn)聲明：第一.廢除原來那個只適用于界位相反量的在數(shù)軸上比較大小的法則；第二.指明原點(diǎn)是一個斷點(diǎn)，斷點(diǎn)兩邊的軸不屬于一“體”；第三.原點(diǎn)代表的零是最小的數(shù)，正數(shù)比它大，負(fù)數(shù)也比它大；第四.在這個圖象中代表正數(shù)和負(fù)數(shù)的是線段（因?yàn)?，不是線段不可能有方向），只有零才用點(diǎn)表示?！　?/P>

〈三〉絕對值概念含糊、扭曲　　

 當(dāng)我們讀到新課本中專講絕對值概念的第四節(jié)課文時，立刻會被其中幾句特別醒目的話吸引：　　

      由絕對值的意義，我們可以知道：　　

1、一個正數(shù)的絕對值是它本身;　　

2、零的絕對值是零;　　

3、一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)。　　

     可以毫不夸張地說，這幾句話不僅扭曲了絕對值概念，而且扭曲了正數(shù)概念，扭曲了正數(shù)和負(fù)數(shù)的關(guān)系，是教材中最為明顯的錯亂表述。什么是絕對值的意義呢？在新課本中，絕對值是相對于標(biāo)著性質(zhì)符號的數(shù)（如+3、―2、+500、―237這種由性質(zhì)符號和純數(shù)兩部分組成的數(shù)）而言的，指的是標(biāo)著性質(zhì)符號的數(shù)中的純數(shù)部分，是只有大小規(guī)定而無性質(zhì)規(guī)定的數(shù)。第四節(jié)課文開頭部分曾對絕對值概念作了具體介紹：“在一些量的計算中，有時并不注意其方向。例如，為了計算汽車行駛中所耗的汽油，起主導(dǎo)作用的是汽車行駛的路程而不是行駛的方向。在討論數(shù)軸上的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離時，只需要觀察它與原點(diǎn)之間相隔多少個單位長度，與位于原點(diǎn)何方無關(guān)。我們把在數(shù)軸上表示a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作︱a︱?！睘榱烁庇^一些，請讀者來看－6這個具體的負(fù)數(shù)：它的絕對值是指不帶“－”號的純數(shù)“　6”　，這個“　6”　只有大小規(guī)定，沒有性質(zhì)規(guī)定；而－6的相反數(shù)卻是指既有大小規(guī)定又有性質(zhì)規(guī)定的帶有“+”號的“　6”　，即+6。如果把－6放到數(shù)軸（注意：這個數(shù)軸已經(jīng)不再是表示界位相反的量的圖象了，而是左端標(biāo)有反向箭頭的表示性質(zhì)相反的量的圖象了）上來說，它的相反數(shù)是指原點(diǎn)右側(cè)的與它對稱的+6，這個+6是既有大小規(guī)定又有方向規(guī)定的數(shù)；而－6的絕對值卻是指只有大小規(guī)定而無方向規(guī)定的純數(shù)6，這個純數(shù)6表示－6的終點(diǎn)與原點(diǎn)之間相隔6個單位長度——這6個單位長度在原點(diǎn)左側(cè)存在一個，在原點(diǎn)右側(cè)也存在一個，是數(shù)軸上的－6和+6共有的絕對值。所以我們可以肯定地說，第四節(jié)課文宣稱“一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)”這一句話是一句自我否定的陳述，這一句話的語義效果就和一個幽默大師宣稱他會畫“正方形的圓”一句俏語所產(chǎn)生的效果一樣。　　

讓我們再來看“一個正數(shù)的絕對值是它本身”這句斷語。前文已經(jīng)說明，正數(shù)和負(fù)數(shù)是指用來區(qū)分和表示性質(zhì)相反的量的數(shù)，正數(shù)和負(fù)數(shù)之間是相互抵消關(guān)系。換句話說，正數(shù)和負(fù)數(shù)都是有性數(shù)，不是無性數(shù)。而“一個正數(shù)的絕對值是它本身”這句話卻再清楚不過地告訴我們：正數(shù)本身就是絕對值，是無性數(shù)。這就等于公然對正數(shù)實(shí)施語言“閹割”！這實(shí)際上是在指馬為騾！　　

請注意，正數(shù)概念被暗暗換成無性數(shù)概念，并不是從第四節(jié)課文開始并且在第四節(jié)課文中完成的，而是從第一節(jié)課文開始，到第四節(jié)課文才完成的；不是一步到位，而是分三步才到位?？v觀整個偷換概念過程，第一步是提出用“過去學(xué)過的數(shù)”表示具有相反意義的量中“正的”一方。直白地說，就是用“過去學(xué)過的數(shù)”表示正數(shù)，給正數(shù)規(guī)定一個代表，即書寫形式。這本無可非議，但是由于“過去學(xué)過的數(shù)”意義含糊，所以從開始讓它當(dāng)正數(shù)的代表，就種下了禍根。第二步是在舉例表示具有相反意義的量之后，宣布“過去學(xué)過的那些數(shù)（零除外），如10、3、500、1.2等，叫做正數(shù)”，“+5和5是一樣的”，使代表和被代表成為同一體，使正數(shù)的那個正號成為可有可無的多余的東西。不過，在這一步，如果我們不對“過去學(xué)過的那些數(shù)（零除外）”“叫做正數(shù)”這種說法進(jìn)行深入考察，仍然不能斷言正數(shù)已經(jīng)被“閹割”了。第三步就是在第四節(jié)課文中直接宣布“一個正數(shù)的絕對值是它本身”，明白無誤地告訴大家：正數(shù)本身就是絕對值。這三步合起來恰恰構(gòu)成一出“代表篡位”的鬧劇?！按泶畚弧钡慕Y(jié)果是把正數(shù)的“正的”性質(zhì)給代表丟了，也把正數(shù)和負(fù)數(shù)之間相互抵消的關(guān)系給代表丟了。　　

新課文通過上述三個“含糊、扭曲”，完成了兩次偷換概念（一次是“數(shù)軸作亂”，另一次是“代表篡位”），實(shí)際上給讀者展示了三種正數(shù)和負(fù)數(shù)：第一種是與性質(zhì)相反的量對應(yīng)的正數(shù)和負(fù)數(shù)，第二種是與界位相反的量對應(yīng)的所謂“正數(shù)”和“負(fù)數(shù)”，第三種是存在于“一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)”這種自我矛盾觀念中的所謂“正數(shù)”和“負(fù)數(shù)”。事實(shí)上，這第三種“正數(shù)”和“負(fù)數(shù)”根本沒有對應(yīng)的對象，因?yàn)椋绻^對值有相反數(shù)，那么它就不是絕對值了。但是這第三種“正數(shù)”和“負(fù)數(shù)”也不是毫無來由。說穿了，這第三種“正數(shù)”和“負(fù)數(shù)”就潛藏于3－5=－2之類的被減數(shù)小于減數(shù)的減法運(yùn)算式中——等號前的被減數(shù)和減數(shù)就是第三種“正數(shù)”，等號后的差就是第三種“負(fù)數(shù)”。公道地說，對于3－5=－2這類運(yùn)算式本身，我們不僅不能指責(zé)，相反地還必須承認(rèn)能夠?qū)懗鲞@類運(yùn)算式是一種歷史性進(jìn)步。但是，我們必須說，到目前為止，寫出這類運(yùn)算式的指導(dǎo)思想是極其錯誤的：錯就錯在寫出這類運(yùn)算式時不是把被減數(shù)和減數(shù)當(dāng)性質(zhì)相反的量對待，而是把它們都當(dāng)成正數(shù)看待；錯就錯在寫出這類運(yùn)算式時沒有把等號后的數(shù)當(dāng)成性質(zhì)相反的數(shù)相互抵消的結(jié)果，而是把它當(dāng)成了一個正數(shù)不夠另一個正數(shù)減時出現(xiàn)的“比零小的數(shù)”。讀者肯定已經(jīng)看出，這里出現(xiàn)的“比零小的數(shù)”不是界位相反的量中的“比零小的數(shù)”，而是減數(shù)被被減數(shù)抵消后剩下的一部分，也就是運(yùn)算式中減數(shù)——事實(shí)上的負(fù)數(shù)——的一部分；當(dāng)人們僅僅把這一部分當(dāng)負(fù)數(shù)時，不僅負(fù)數(shù)的概念的范圍縮小了，更重要的是，負(fù)數(shù)成了難以理解的數(shù)了。在這里，我們可以毫不含糊的說：“比零小的數(shù)”是抽象的減法掩蓋數(shù)量性質(zhì)所產(chǎn)生的惡果，這惡果又以其非直觀的反常理的面目給抽象者出了個難題?！　?/P>

以上三個“含糊、扭曲”各有各的作用，卻又是緊密相關(guān)的，其中貫穿一條主線，那就是由淡化正數(shù)和負(fù)數(shù)的性質(zhì)到徹底抹殺正數(shù)和負(fù)數(shù)的性質(zhì)，使正數(shù)和負(fù)數(shù)只有抽象的“正”“負(fù)”之分，而無正數(shù)和負(fù)數(shù)的本質(zhì)特征，最終導(dǎo)致假正數(shù)和假負(fù)數(shù)取代真正數(shù)和真負(fù)數(shù)。當(dāng)我們看到正數(shù)和負(fù)數(shù)所處的尷尬境遇時，不能不為劉徽對正數(shù)和負(fù)數(shù)所下定義被淡化而感到痛惜?！　?/P>

然而，上述問題還不是正數(shù)和負(fù)數(shù)概念所存在問題的全部，而是一部分。如果說已經(jīng)揭示出來的問題可以概括為正數(shù)和負(fù)數(shù)被假冒的問題，那么還未揭示出來的問題就可以概括為正數(shù)和負(fù)數(shù)概念排斥同類數(shù)的問題；如果說已經(jīng)揭示出來的問題不是邏輯的必然，那么還未揭示出來的問題就是正數(shù)和負(fù)數(shù)概念本身帶來的問題，是“先天性”問題，是必然要發(fā)生的問題。下面，我們就來關(guān)注這個不是存在于新課本中的“先天性”問題。　　

注釋　　

①   本文關(guān)于印度數(shù)學(xué)家很早就深入研究正數(shù)和負(fù)數(shù)的史料來自新華書店上海發(fā)行所1984年1月出版前蘇聯(lián)G.B.鮑爾加爾斯基所著《數(shù)學(xué)簡史》第87頁，還來自M.克萊因所著《數(shù)學(xué)：確定性的喪失》第106頁?！　?/P>

②   本文關(guān)于米哈依爾.史提非把負(fù)數(shù)定義為“比零小的數(shù)”的史料來自《數(shù)學(xué)簡史》第115頁?！　?/P>

③   此引文見《數(shù)學(xué)：確定性的喪失》第112頁?！　?/P>

④ 參閱《數(shù)學(xué)：確定性的喪失》第111頁。